برجاء تسجيل الإعجاب بالصفحة لتصلك كتاباتي على فيسبوك

المتابعون للمدونة

الجمعة، 21 أكتوبر 2016

حل رياضي



بالتفكير بطريقة رياضية في مسألة عدد المربعات:
أعدت تلوين خانات المربع كما في الصورة، وأضفت صفا جديدا وضعت فيه مجموع الخانات التي لها نفس اللون:
 


ستلاحظون أن مجموع المربعات = 1 + 4 + 9 + 16

أي: 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2

ملحوظة: الرمز ^ يستخدم للإشارة للأس في البرمجة.. أي أن 2^2 تقرأ 2 أس 2.

إذن فالصيغة العامة لحساب المربعات الممكنة هو متوالية حسابية تجمع مربعات الأعداد من 1 إلى عدد الصفوف (عدد الأعمدة).

ويمكن حساب هذا برمجيا باستخدام حلقة تكرار واحدة فقط.

كما يمكن حسابه رياضيا باستخدام الصيغة العامة:

المجموع = ن/6 × (ن+1) × (2ن+1)

وهو قانون مثبت بأكثر من طريقة هنا:


ولو طبقنا هذه الصيغة على ن = 2 (المربع الصغير):

المجموع = 2/6 × 3 × 5 = 5

ولو طبقناها على ن = 4 (المربع الكبير):

المجموع = 4/6 × 5 × 9 = 30 

إذن حل المسألة = 30 + 2 × 5 = 40 مربعا. 

ملحوظة لهواة الرياضيات:
بالنظر في الصورة، يمكنك أن تكتشف أن:
4 = 1 + 2 + 1
أي 2^2 = 1^2 + 2 + 1
وكذلك:
9 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1
وبالتعويض عن 1 + 2 + 1 = 4
إذن: 3^2 = 2^2 + 3 + 2
أي: 3^2 = (3-1)^2 + 3 + 3 – 1

وبصيغة عامة:
س^2 = (س-1)^2 + 2 س -1

لاحظ أن الصيغة التي وصلنا إليها هي نفسها مفكوك القوس المربع بعد إعادة ترتيبها:
(س -1)^2 = س^2 – 2 س + 1

وهذا يعني أنك تستطيع برمجيا كتابة دالة ارتدادية Recursive Function لحساب مربع أي عدد من مربع العدد السابق له.
بل يمكن حساب مربع أي عدد بدون استخدام أي مربعات، من العلاقة الواضحة في الصورة:
مربع العدد س = س + 2 × مجموع الأعداد من 1 إلى (س -1)

 

 


ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

صفحة الشاعر